Question

已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知|PM|-|PN|=4由双曲线的定义可知W是以M，N为焦点的双曲线的右支，则曲线方程可得．
（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，x₁，x₂和判别式确定k的范围．
（3）利用A，B的坐标表示出，根据结果为0整理求得m，则直线的方程可得，根据直线方程可知直线l过定点，定点坐标为．
解答：解：（Ⅰ）由已知，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且．
∴轨迹W的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由得（1-4k²）x²+8k²mx-4k²m-4=0．
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则，①
，②
△=64k⁴m²+4（1-4k²）（4k²m²+4）＞0．③
由①②③得4k²＞1．
∴直线l斜率k的取值范围是．
（Ⅲ）=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k（x₁-m）k（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-（2+mk²）（x₁+x₂）+4+k²m²
=．
∵=0，
∴=0，
∴（1+k²）（4k²m²）-（2+mk²）8mk²+（4+k²m²）（4k²-1）=0，
∴20k²-16k²m+3k²m²=0．
∵k≠0，
∴3m²-16m+20=0，解得，或m=2（舍）．
∴直线l的方程为．
∴直线l过定点，定点坐标为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．