Question

（2010•珠海二模）（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC外心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=3x+b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求

|EF|

d

的最大值．并求出此时b的值．

Answer 1

分析：（1）设B点的坐标为（0，y₀），则C点坐标为（0，y₀+2）且-3≤y₀≤1，则由BC边的垂直平分线，AB的垂直平分线即可求的△ABC外心的轨迹方程
（2）将y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．，由y²=6x-8及-2≤y≤2，得

4

3

≤x≤2．则问题转化为9x²+6（b-1）x+b²+8=0在区间[

4

3

，2]上有两个实根，结合方程的根的分布可求b的范围，根据弦长公式|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

可得|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

2

3

10

•

-2b-7

，再由原点到直线l的距离为d=

|b|

10

，，代入结合二次函数的性质可求

解答：解：（文）（1）设B点的坐标为（0，y₀），则C点坐标为（0，y₀+2）（-3≤y₀≤1），
则BC边的垂直平分线为  y=y₀+1①，AB的垂直平分线为y-

y0

2

=

3

y0

(x-

3

2

)②
由①②消去y₀，得y²=6x-8．
∵-3≤y₀≤1，
∴-2≤y=y₀+1≤2．
故所求的△ABC外心的轨迹方程为：y²=6x-8（-2≤y≤2）．
（2）将y=3x+b代入y²=6x-8得9x²+6（b-1）x+b²+8=0．
由y²=6x-8及-2≤y≤2，得

4

3

≤x≤2．
所以方程①在区间[

4

3

，2]有两个实根．
设f（x）=9x²+6（b-1）x+b²+8，则方程③在[

4

3

，2]上有两个不等实根的充要条件是

△=[6(b-1)]2-4•9(b2+8)＞0 f( 4 3 )=9•( 4 3 )2+6(b-1)• 4 3 +b2+8≥0 f(2)=9•22+6(b-1)•2+b2+8≥0 4 3 ≤ -6(b-1) 2•9 ≤2

解之得-4≤b≤-3．
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

[ 2 3 (b-1)]2-4• b2+8 9

=

2

3

-2b-7

 
∴由弦长公式，得|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

2

3

10

•

-2b-7

又原点到直线l的距离为d=

|b|

10

，
∴

|EF|

d

=

20

3

-2b-7 b2

=

20

3

- 7 b2 - 2 b

=

20

3

-7( 1 b + 1 7 )2+ 1 7

∵-4≤b≤-3，∴-

1

3

≤

1

b

≤-

1

4

．
∴当

1

b

=-

1

4

，即b=-4时，|

EF

d

|max=

5

3

．

点评：本题主要考查了直销方程的求解，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，方程的实根分布问题的应用，点到直线的距离公式等知识的综合应用，试题具有一定的综合性．