Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ） （ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）有一个零点x₀=-

2

3

，且其图象过点A（

7

3

，1），记函数f（x）的最小正周期为T，
（1）若f′（x₀）＜0，试求T的最大值及T取最大值时相应的函数解析式、
（2）若将所有满足题条件的ω值按从小到大的顺序排列，构成数列{ω_n}，试求数列{ω_n}的前项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合,正弦函数的图象

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意和函数零点的定义得f（x）的图象过点B（-

2

3

，0），由正弦函数的性质判断出A（

7

3

，1）是其图象的最高点，从而求出T的最大值，由周期公式求出ω，把点A代入解析式列出方程，结合φ的范围和正弦函数的性质求出φ，代入解析式即可；
（2）把点A、B的坐标代入解析式列出方程，两个方程相减求出ω的表达式，由等差数列的通项公式判断，再由等差数列的前n项和公式求出数列{ω_n}的前项和S_n．

解答： 解：（1）由题意知，函数f（x）有一个零点x₀=-

2

3

，则其图象过点B（-

2

3

，0），
因为f（x）=sin（ωx+ϕ）的最大值为1，且其图象过点A（

7

3

，1），
所以A（

7

3

，1）是其图象的最高点，
因为f′（x₀）＜0，所以x₀=-

2

3

在函数f（x）的一个单调减区间内，
则函数周期T的最大值是

4

3

[

7

3

-(-

2

3

)]=4，
由T=

2π

ω

=4得，ω=

π

2

，
把点A（

7

3

，1）代入f（x）=sin（

π

2

x+ϕ）得，

7π

6

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
所以φ=2kπ-

2π

3

(k∈Z)，
又|ϕ|＜

π

2

，则当k=1时，φ=

π

3

，
所以f（x）=sin（

π

2

x+

π

3

）；

（2）因为f（x）=sin（ωx+ϕ）的图象过点A（

7

3

，1），
所以sin（

7ω

3

+φ）=1，则

7ω

3

+φ=2k1π+

π

2

（k₁∈Z），①，
因为函数f（x）=sin（ωx+ϕ）有一个零点x₀=-

2

3

，
所以sin（-

2ω

3

+φ）=0，则-

2ω

3

+φ=k₂π（k₂∈Z），②
由①-②得，3ω=(2k1-k2)π+

π

2

（k₁、k₂∈Z），
因为k₁、k₂∈Z，所以2k₁-k₂可取任意的整数，
所以3ω=kπ+

π

2

(k∈Z)，
又ω＞0，则k≥0，即ωn=

nπ

3

-

π

6

（n取正整数），
所以数列{ω_n}是以

π

3

为公差、

π

6

为首项的等差数列，
则她的前项和S_n=n×

π

6

+

n(n-1)

2

×

π

3

=

π

6

n2．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，等差数列的通项公式、前n项和公式，考查推理论证能力、化简计算能力，转化与化归能力，属于难题．