Question

（2011•资阳一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令cn=

anbn

4

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

（n≥1），知an+1=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

+

bn+1

3n+1+1

，所以

bn+1

3n+1+1

=an+1-an=2，由此能求出b_n．
（Ⅲ）cn=

anbn

4

=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，所以T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，由错位相减法能求出Hn=

(2n-1)×3n+1+3

4

，由此能求出数列{c_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a₁=2满足该式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．（2分）
（Ⅱ）∵an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

（n≥1）①
∴an+1=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

+

bn+1

3n+1+1

②（4分）
②-①得：

bn+1

3n+1+1

=an+1-an=2，
b_n+1=2（3ⁿ⁺¹+1），
故b_n=2（3ⁿ+1）（n∈N^*）．（6分）
（Ⅲ）cn=

anbn

4

=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）（8分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②
①-②得：-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1
∴Hn=

(2n-1)×3n+1+3

4

，…（10分）
∴数列{c_n}的前n项和Tn=

(2n-1)×3n+1+3

4

+

n(n+1)

2

…（12分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．