Question

设点动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。

（1）求曲线W的方程；

（2）过点F作互相垂直的直线，分别交曲线W于A，B和C，D。求四边形ABCD面积的最小值。

（3）分别在A、B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q。

求证：QA⊥QB，且点Q在某一定直线上。

Answer 1

解：（1）过点P作PN垂直于直线于点N，依题意得

                                      

所以动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线。

即曲线W的方程是

（2）依题意，直线l₁,l­­_­2的斜率存在且不为0，

设直线l₁的方程为

由l₁⊥l₂得l­­_­2的方程为

将

 

设

∴

同理可得

∴四边形ABCD的面积

当且仅当

故四边形ACBD面积的最小值是72。

（3）由（1）知W的方程可化为

∴

∵QA的斜率

∴

∴QA⊥QB

QA的方程为

QB的方程为

解方程组

即Q（2k，）

当k取任何非零实数时，点Q总在定直线y=上。