Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

=m2

OB

+n2

OC

，则

m2

1+n2

+

n2

1+m2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：先根据题意得出m²+n²=1，从而

m2

1+n2

+

n2

1+m2

=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，令sinα=m，cosα=n，令y=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，通过三角函数的性质，从而得出答案．

解答： 解：∵A、B、C是直线l上的三点，
向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

=m2

OB

+n2

OC

，
∴m²+n²=1，
∴

m2

1+n2

+

n2

1+m2

=

2-(1+n2)

1+n2

+

2-(1+m2)

1+m2

=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，
令sinα=m，cosα=n，令y=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，
∴y=2（

1

1+cos2α

+

1

1+sin2α

）-2
=2•

1+sin2α+1+cos2α

(1+sin2α)(1+cos2α)

-2
=

6

2+ 1 4 sin2α

-2，
当sin2α=1时，y=

2

3

，当sin2α=-1时，y=

10

7

，
∴

2

3

≤y≤

10

7

，
故答案为：[

2

3

，

10

7

]．

点评：本题考查了平面向量基本定理，考查转化思想，考查三角函数的性质，是一道中档题．