Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点的直线交双曲线的右支于A，B两点，设F是双曲线的左焦点，e是双曲线的离心率，若△ABF为等腰三角形，且∠A=90°，则e²=（　　）

• A、4-2

  2

• B、5-2

  2

• C、6-2

  3

• D、7-2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的右焦点为F'，设AF'=t，由双曲线的定义可得AF=2a+t，再由等腰直角三角形ABF，可得BF'，BF，运用勾股定理，可得t，进而得到a，c的关系，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设双曲线的右焦点为F'，
设AF'=t，
由双曲线的定义可得AF=2a+t，
又AF=AB，则BF'=AB-AF'=2a，
由双曲线的定义可得BF=4a，
在直角三角形ABF中，
BF²=AF²+AB²，
则16a²=2（2a+t）²，
解得t=2（

2

-1）a，
再在直角三角形AFF'中，
FF'²=AF²+AF'²，
即有4c²=（2

2

a）²+4（

2

-1）²a²，
即有c²=（5-2

2

）a²，
即有e²=

c2

a2

=5-2

2

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．