练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
    （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
    （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）判断数列an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    (n≥2)    是否为有界数列，并证明．
    （Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
    故{an}为有界数列…（2分）
    （Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
    a1(1-qn)
    1-q
    ＜
    a1
    1-q
    ，
    则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
    a1
    1-q
    ，即为有界数列；
    当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
    当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
    综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
    （Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    ＞
    1
    4
    +
    1
    6
    +
    1
    8
    +…+
    1
    2n

    ∴2an＞
    1
    3
    +
    1
    4
    +
    1
    5
    +
    1
    6
    +…+
    1
    2n-1
    +
    1
    2n

    ∴2a2n＞
    1
    3
    +
    1
    4
    +
    1
    5
    +
    1
    6
    +…+
    1
    2•2n
    =(
    1
    3
    +
    1
    4
    )+(
    1
    5
    +
    1
    6
    +
    1
    7
    +
    1
    8
    )+(
    1
    9
    +…+
    1
    16
    )+…+(
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    +…+
    1
    2n+2n
    )    ＞
    1
    4
    ×2+
    1
    8
    ×4+
    1
    16
    ×8+…+
    1
    2n×2
    ×2n=
    n
    2

    ∴a2n＞
    n
    4

    故当n无限增大时an也无限增大，
    所以{an}无界…（12分）．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{an}，若满足a1，
    a2
    a1
    ，
    a3
    a2
    ，…，
    an
    an-1
    ，…    是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（　　）
    A、2100
    B、299
    C、25050
    D、24950

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
    log2(1-x)，x≤0
    f(x-1)-f(x-2)，x＞0

    （1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；
    （2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
    （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
    （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）判断数列an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    (n≥2)    是否为有界数列，并证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
    （1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
    （2）若{an}满足a1=p∈[0， 
    1
    2
    )    ，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
    （3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
    2009
    2n
    ，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）对于数列{an}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N*，均有|an|≤T，则称{an}为有界数列．以下数列{an}为有界数列的是
     
    ；（写出满足条件的所有序号）
    ①an=n-2②an=
    1
    n+2
    ③
    an
    an+1
    =2，a1=1
    （2）数列{an}为有界数列，且满足an+1=-an2+2an，a1=t（t＞0），则实数t的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案