Question

一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

Answer 1

【答案】分析：（1）以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，一依题意可知A，B的坐标，设出抛物线的方程，把点B代入求得p，进而可求得抛物线的方程．
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于P，则可利用导函数求得P的切线的斜率，表示直线l的方程，分别令y=0和2求得x，利用梯形面积求得面积的表达式，利用基本不等式求得三角形面积的小值．
解答：解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A（-2，2），B（2，2）
设抛物线的方程为x²=2Py（P＞0），
将点B（2，2）代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x²=2y（-2≤x≤2）
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于，（不妨t＞0）
则过的切线l的斜率为y′|_x=t=t
所以切线l的方程为：，即
令y=0，得，
令y=2，得，
所以梯形面积
当仅当，即时，“=”成立
此时下底边长为
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．
点评：考查待定系数法求曲线方程的知识；考查直线方程的知识；考查由函数导数或判别式法求曲线切线的知识；考查应用函数单调性或不等式求函数最值的知识；考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维；考查根据实际选择数学模型的能力（即数学建模能力）．