Question

6．潍坊某公司新生产了一种电子玩具，2015年6月1日投入潍坊市场销售，在6月份的30天内，前20天每件售价P（元）与时间x（天，x∈N₊）满足一次函数关系式，其中第一天每件售价为93元，第10天每件售价为120元；后10天每件售价均为150元．已知日销售量Q（件）与时间x（天）之间的关系是Q=-x+50（x∈N₊）．
（1）写出该电子玩具6月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式；
（2）6月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额．（日销售金额=每件售价×日销售量）

Answer 1

分析 （1）设前20天每件售价P（元）与时间x（天，x∈N₊）的解析式为P=kx+b，由条件列出方程，解方程可得k，b，进而运用分段函数的解析式可得所求；
（2）运用分段函数的形式写出6月份日销售金额的解析式，再由二次函数和一次函数的性质，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）设前20天每件售价P（元）与时间x（天，x∈N₊）
的解析式为P=kx+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=93}\\{10k+b=120}\end{array}\right.$，解得k=3．b=90，
即有该电子玩具6月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式
为P=$\left\{\begin{array}{l}{90+3x，1≤x≤20，x∈N}\\{150，21≤x≤30，x∈N}\end{array}\right.$；
（2）设6月份日销售金额为y元，即有
y=$\left\{\begin{array}{l}{（3x+90）（50-x），1≤x≤20，x∈N}\\{150（50-x），21≤x≤30，x∈N}\end{array}\right.$，
当1≤x≤20，x∈N，y=-3x²+60x+4500=-3（x-10）²+4800，
即有x=10时，取得最大值，且为4800元；
当21≤x≤30时，y=7500-150x，当x=21时，y_max=4350．
综上可得，6月份第10天的日销售金额最大，且为4800元．

点评 本题考查分段函数的应用题的解法，注意运用方程的思想和二次函数和一次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．