Question

设函数f（x）=﹣2x³+3（1﹣2a）x²+12ax﹣1（a∈R）在x=x₁处取极小值，x=x₂处取极大值，且．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极大值与极小值的和．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f'（x）=﹣6x²+6（1﹣2a）x+12a=﹣6（x﹣1）（x+2a）
令f'（x）=0，可得x=1或x=﹣2a
①若a≤﹣时，x₁=1，x₂=﹣2a，由，可得1=﹣2a，a=﹣，
此时f'（x）≤0，函数无极值；
②若a＞﹣时，x₁=﹣2a，x₂=1，由，可得4a²=1，a=
此时，x∈（﹣∞，﹣1），f'（x）＜0；
x∈（﹣1，1），f'（x）＞0；
x∈（1，+∞），f'（x）＜0满足条件，
综上知a=
（2）由（1）知，x₁=﹣1，x₂=1； f（x₁）=f（﹣1）=2﹣12×﹣1=﹣5，
∴函数极小值为﹣5；
f（x₂）=f（1）=﹣2+12×﹣1=3，
∴函数极大值为3
∴函数极小值与极大值的和为﹣2