Question

16．设a＞0，a≠1，函数f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$-log_a（x-1）-1有且仅有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出f（x）的定义域，再令f（x）=0，得出方程ax²+（a-1）x-2a+2=0，
由f（x）有且仅有两个零点，得该方程在f（x）的定义域内有两个不相等的实数根，
利用二次函数的图象与性质列出不等式组，即可求出a的取值范围．

解答 解：根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-2}{x+2}＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得x＞2；
∴f（x）的定义域为（2，+∞）；
又f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$-log_a（x-1）-1=log_a$\frac{x-2}{（x+2）（x-1）}$-1，
令log_a$\frac{x-2}{（x+2）（x-1）}$-1=0，
得log_a$\frac{x-2}{（x+2）（x-1）}$=1，
即$\frac{x-2}{（x+2）（x-1）}$=a，
化简得ax²+（a-1）x-2a+2=0；
∵f（x）有且仅有两个零点，
∴方程ax²+（a-1）x-2a+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数根；
设g（x）=ax²+（a-1）x-2a+2，如图所示：

则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0且a≠1}\\{△{=（a-1）}^{2}-4a（-2a+2）＞0}\\{-\frac{a-1}{2a}＞2}\\{g（2）=4a+2（a-1）-2a+2＞0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．