Question

【题目】已知函数f（x）=|x+2|+|x|
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若对x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=|x+2|+|x|表示数轴上的x对应点到﹣2、0对应点的距离之和，

而﹣3和1对应点到﹣2、0对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[﹣3，1]．

（2）解：函数f（x）=|x+2|+|x|表示数轴上的x对应点到﹣2、0对应点的距离之和，它的最小值为2，．

若对x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，则有2＞|3a﹣1|，即﹣2＜3a﹣1＜2，求得﹣ ＜a＜1，

故a的取值范围为（﹣ ，1）

【解析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．（2）根据绝地值的意义求得函数f（x）=|x+2|+|x|的最小值为2，故有2＞|3a﹣1|，由此求得a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．