Question

【题目】已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数k使得 （其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由 ＜1，解得： ＜k＜

所以k的取值范围为得（ ， ）

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．

将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，

整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．

所以x1+x2= ，x1x2= ，

=x1x2+y1y2=（1+k2）（x1x2）+k（x1+x2）+1= =12，

解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．

故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．

【解析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与圆的三种位置关系的相关知识点，需要掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点才能正确解答此题．