Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y²=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．则a=4，c=2．由b²=a²-c²=12，即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（4，0）的直线方程为：x=my+4，代入抛物线y²=4x，由韦达定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4m\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₁=0，即可求证OA⊥OB．

解答 解：（Ⅰ）解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$焦点在x轴上，
由题意可得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．则a=4，c=2．
由b²=a²-c²=12，
∴椭圆标准方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0），
由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4my-16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4m\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$．…（10分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{m{y_1}+4}）（{m{y_2}+4}）+{y_1}{y_2}=（{1+{m^2}}）{y_1}{y_2}+4m（{{y_1}+{y_2}}）+16=0$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$
故OA⊥OB．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．