Question

（2013•乌鲁木齐一模）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的

1

2

，所得曲线记作C；将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．
（I）求直线l与曲线C的方程；
（II）求C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析：（I）设曲线C上任一点为（x，y），则（x，2y）在圆x²+y²=4上，代入即可求得曲线C的方程，写出直线3x-2y-8=0的极坐标方程，记作l₀，设直线l上任一点为（ρ，θ），则点（ρ，θ-90°）在l₀上，代入化简，再转化为普通方程即可；
（II）设曲线C上任一点为M（2cosψ，sinψ），到直线l的距离为d=

|4cosψ+3sinψ-8|

22+32

，利用三角知识化为

|5cos(ψ-ψ0)-8|

13

即可求得其最大值；

解答：（Ⅰ）设曲线C上任一点为（x，y），则（x，2y）在圆x²+y²=4上，
于是x²+（2y）²=4，即

x2

4

+y2=1．
直线3x-2y-8=0的极坐标方程为3ρcosθ-2ρsinθ-8=0，将其记作l₀，
设直线l上任一点为（ρ，θ），则点（ρ，θ-90°）在l₀上，
于是3ρcos（θ-90°）-2ρsin（θ-90°）-8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ-8=0，
故直线l的方程为2x+3y-8=0；
（Ⅱ）设曲线C上任一点为M（2cosψ，sinψ），
它到直线l的距离为d=

|4cosψ+3sinψ-8|

22+32

=

|5cos(ψ-ψ0)-8|

13

，
其中ψ₀满足：cosψ₀=

4

5

，sinψ₀=

3

5

．
∴当ψ-ψ₀=π时，d_max=

13

．

点评：本题考查直线、椭圆的极坐标方程，考查直线与圆锥曲线上点的距离问题，考查学生对问题的转化能力．