Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=

2an

1+an

（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=

1

2

，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n；
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{

an+P

an

}是等比数列，并求出公比q的值．

Answer 1

分析：（1）利用反证法，若a_n+1=a_n，即

2an

1+an

=a_n，解得 a_n=0或1，结论与题干条件矛盾，
（2）根据a_n+1=

2an

1+an

，a₁=

1

2

，求出a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，观察各项分子通项为2^n-1，分母通项为2^n-1+1，于是可以写出通项公式a_n，
（3）因为

an+1+p

an+1

=

(2+p)an+p

2an

，又

an+1+p

an+1

=

an+p

an

-q，据此可以求出（2+p-2q）a_n=p（1-2p），故能求出q和p的值．

解答：解：（1）采用反证法．若a_n+1=a_n，即

2an

1+an

=a_n，解得 a_n=0或1，
从而a_n=a_n1=…a₂=a₁=0或1与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，故a_n+1≠a_n成立．
（2）a₁=

1

2

，a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，a_n=

2n-1

2n-1+1

．
（3）因为

an+1+p

an+1

=

(2+p)an+p

2an

，又

an+1+p

an+1

=

an+p

an

q，
所以（2+p-2q）a_n=p（1-2q），
因为上式是关于变量a_n的恒等式，故可解得q=

1

2

、p=-1．

点评：本题主要考查数列递推式和等差关系的确定等知识点，熟练掌握反证法和归纳法进行数学解题，本题难度一般．