Question

若曲线f（x，y）=0（或y=f（x））在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为

 

（填上所有正确的序号）①y=x²-|x|；②|x|+1=

4-y2

③y=3sinx+4cosx；④x²-y²=1⑤y=xcosx．

Answer 1

分析：化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否有自公切线．

解答：解：①y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 (x+ 1 2 )2- 1 4

； 在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 处的切线都是  y=-

1

4

，故①有自公切线．
②|x|+1=

4-y2

  即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此函数没有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=

3

5

，sin∅=

4

5

，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，
故此函数有自公切线．
 ④x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线．
 ⑤y=xcosx 的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查函数的自公切线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是否有自公切线，是解题的难点．