Question

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α，β，且α＜β．定义函数f(x)=

2x-m

x2+1

（1）当α=-1，β=1时，判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据韦达定理，由α=-1，β=1，可求出m值，进而求出函数f（x）的解析式，根据函数单调性的定义可得答案．
（2）由α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，根据韦达定理可得

α+β=m α•β=-1

，代入分别求出f（α），f（β）的值，进而可求αf（α）+βf（β）的值．

解答：解：（1）∵α=-1，β=1，
由韦达定理可得：m=α+β=0
∴f(x)=

2x

x2+1

------（2分）
设x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

2x2

x22+1

-

2x1

x12+1

=

2x2．(x12+1)-2x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

∵（x₂-x₁）＞0，
当x₂，x₁＞1时，（1-x₁x₂）＜0，此时f（x₂）-f（x₁）＜0，函数为减函数，
当-1＜x₂，x₁＜1时，（1-x₁x₂）＞0，此时f(x2)-f(x1)＞0，函数为增函数，
当x₂，x₁＜-1时，（1-x₁x₂）＜0，此时f(x2)-f(x1)＜0，函数为减函数，（9分）
（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，
∴

α+β=m α•β=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

，
同理f（β）=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=α•

1

α

+β•

1

β

=1+1=2．（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的单调性的判断与证明，一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）是解答的关键．