【题目】函数在区间
上的最小值记为
.
(1)当时,求函数
在区间
上的值域;
(2)求的函数表达式;
(3)求的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)将代入函数
的解析式,利用二次函数的性质求出函数
在区间
上的最大值和最小值,从而可得出此时函数
在区间
上的值域;
(2)对二次函数的对称轴与区间
的位置关系进行分类讨论,分析函数
在区间
上的单调性,可得出函数
在区间
上的最小值
的表达式;
(3)求出分段函数在每一段定义域上的值域,可得出该函数的最大值.
(1)当时,
,
当时,函数
取最小值,即
;
当时,函数
取最大值,即
.
因此,函数在区间
上的值域为
;
(2)①当时,函数
的对称轴
,
此时,函数在区间
上单调递增,则
;
②当时,函数
的对称轴
,
此时,函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
则;
③当时,函数
的对称轴
,
此时,函数在区间
上单调递减,则
.
综上所述,;
(3)①当时,
;
②当时,
;
当
时,
.
由①②③可知.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一次数学测验后,班级学委对选答题的选题情况进行统计,如下表:
几何证 明选讲 | 极坐标与 参数方程 | 不等式 选讲 | 合计 | |
男同学 | 12 | 4 | 6 | 22 |
女同学 | 0 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 12 | 12 | 18 | 42 |
(1)在统计结果中,如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”,把不等式选讲称为“代数类”,我们可以得到如下2×2列联表.
几何类 | 代数类 | 合计 | |
男同学 | 16 | 6 | 22 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 24 | 18 | 42 |
能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关,若有关,你有多大的把握?
(2)在原始统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈.已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中.
①求在这名学委被选中的条件下,2名数学课代表也被选中的概率;
②记抽取到数学课代表的人数为,求
的分布列及数学期望
.
下面临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司生产甲、乙两种产品所得利润分别为和
(万元),它们与投入资金(万元)的关系有经验公式
,
.今将120万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投资金额都不低于20万元.
(Ⅰ)设对乙产品投入资金万元,求总利润
(万元)关于
的函数关系式及其定义域;
(Ⅱ)如何分配使用资金,才能使所得总利润最大?最大利润为多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】第届世界杯足球赛在俄罗斯进行,某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况,随机调查了该校
名学生,并将这
名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类,已知这
名学生中男生比女生多
人,对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为
,对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少
人.
(1)根据题意建立列联表,判断是否有
的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异?
(2)该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样,从中抽取人,再从这
人中随机选出
人参与世界杯足球赛宣传活动,求这
人中至少有一个男生的概率.
附:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分,众数,中位数;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数(
)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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