Question

【必做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为

1

3

且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；
（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析：（1）依题意知ξ～B（4，

1

3

），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）设A_i表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，B_i表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，由此能求出事件A发生的概率．

解答：解：（1）依题意知ξ～B（4，

1

3

），ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

数学期望Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．（或Eξ=np=

4

3

）．…5分
（2）设A_i表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，
B_i表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意，知P（A₁）=P（B₁）=0.1，P（A₂）=P（B₂）=0.3，
A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A₁B₁∪A₂B₂，…7分
所求的概率为
P（A）=P（A1

.

B1

）+P（

.

A1

B1）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=P（A₁）P（

.

B1

）+P（

.

A1

）P（B₁）+P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3
=0.28．
答：事件A发生的概率为0.28．…10分．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．