Question

已知角α∈(0，π)，向量

m

=(2，-1+cosα)，

n

=(-1，cos2α)，

m

∥

n

，f(x)=sinx+

3

cosx
（Ⅰ）求角α的大小；
（Ⅱ）求函数f（x+α）的最小正周期与单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

m

∥

n

，将向量共线条件转化为方程，从而可求角α的大小；
 （Ⅱ）将函数f（x+α）化为f(x+α)=2sin(x+

2π

3

)，从而可求函数f（x+α）的最小正周期与单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ） 由已知得2cos²α+cosα-1=0
∴cosα=

1

2

或cosα=-1，
∵角α∈（0，π），
∴cosα=

1

2

⇒α=

π

3

，
（Ⅱ）∵f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)
∴f(x+α)=2sin(x+

2π

3

)
∴周期T=2π
∵2kπ+

π

2

＜x+

2π

3

＜2kπ+

3π

2

，k∈z，
∴x∈(2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

)，k∈z时函数f（x+α）单调递减

点评：本题以向量为载体，考查三角函数，考查函数的性质，属于中档题．