Question

18．已知f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$为奇函数，g（x）=-a+$\frac{1}{{3}^{x}-1}$．
（1）求a的值并证明g（x）为奇函数；
（2）判断f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的单调性并证明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0求a的值，利用奇函数的定义证明g（x）为奇函数；
（2）利用导数证明f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的单调性；
（3）利用指数函数的值域求f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$为奇函数，
∴f（0）=a+$\frac{1}{2}$=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}-1}$=$\frac{{3}^{x}+1}{2（{3}^{x}-1）}$，
∴g（-x）=$\frac{{3}^{-x}+1}{2（{3}^{-x}-1）}$=-$\frac{{3}^{x}+1}{2（{3}^{x}-1）}$=-g（x），
∴g（x）为奇函数；
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{3}^{x}•ln3}{（{3}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的单调递减；
（3）∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查函数的值域，确定函数的解析式是关键．