Question

已知函数

（1）若直线是曲线的切线，求的值；

（2）若直线是曲线的切线，求的最大值；

（3）设是曲线上相异三点，其中

求证：

Answer 1

解：(1)设切点为(x₀,lnx₀), k=f¢(x)= = ,x₀ = 2 ,\切点为(2,ln2),

代入y= x + m得：m = ln2-1.----------------4分

(2)设y = ax+b切f(x)于(t,lnt)(t>0), f¢(x)= , \ f¢(t)= ,

则切线方程为：y = (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1

\ab= (lnt-1), 令g(t)= (lnt-1), g¢(t)= - (lnt-1)+ =

若tÎ(0,e²)时，g¢(t)>0，\ g(t)在(0,e²)上单调增；tÎ(e²,+¥)时，g¢(t)<0, \ g(t)在(e²,+¥)上单调递减；所以，当t= e²时，ab的最大值为：

g(e²)= (lne²-1)= ------------------------8分

(3)先证：<< ,即证：<< ,

只证：1- <ln< - 1 , 令= t >1, 设h(m) =lnt–t +1 ,

h¢(m)= - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ¥)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,

即证：ln< – 1. 以下证明：1- <ln

令p(t)= lnt+-1 , p¢(t)= - >0 , 所以：p(t)= lnt+-1在(1,+ ¥)上单调递增，即：p(t)>p(1)= 0 ,即有：lnt+-1>0, \1- <ln 获证.

故<< 成立 ,同理可证：<< ，综上可知：：> 成立------------12分