Question

已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF₁⊥F₁F₂，。
（1）求椭圆E的方程和P点的坐标；
（2）判断以PF₂为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（3）若点G是椭圆C：（m>n>0）上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系。

Answer 1

解：（1）∵P在椭圆E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2
∵PF₁⊥F₁F₂，
∴ |F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²=
2c=2，c=1，
∴b²=3
所以椭圆E的方程是
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵PF₁⊥F₁F₂，
∴。
（2）线段PF₂的中点
∴以为圆心，PF₂为直径的圆M的方程为

圆M的半径
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x²+y²=4，圆心为O（0，0），半径为R=2，
圆M与圆O的圆心距为
所以两圆相内切。
（3）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切，
设F′
是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m>0），
∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，
则有|GF|+|CF'|=2m，
则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为，
以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，
两圆圆心O，M分别是FF'和FG的中点，
∴两圆心间的距离R-r
所以两圆内切。