Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别是AB，B₁C₁上的点AP=B₁Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB₁A₁的中心．求证：
（1）MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）MN∥A₁C₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证MN∥平面A₁B₁C₁D₁，只需证明MN平行于该平面内的一条直线即可，连结PM并延长交A₁B₁于G，连结GQ后可得MN平行于GQ，由线面平行的判定即得结论；
（2）由三角形全等可得AP=GB₁，则GB₁=B₁Q，由平行线截线段成比例定理可得GQ∥A₁C₁，再由平行公理即得结论．

解答： 证明：（1）如图，
连结PM并延长交A₁B₁于G，连结GQ，
因为N是PQ的中点，M是正方形ABB₁A₁的中心，
所以MN∥GQ，
又因为GQ?面A₁B₁C₁D₁，MN?面A₁B₁C₁D₁，
所以MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）因为M是正方形ABB₁A₁的中心，
所以△PBM≌△A₁GM，所以AP=GB₁，
又AP=B₁Q，GB₁=B₁Q，所以GQ∥A₁C₁，
又MN∥GQ，所以MN∥A₁C₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定、直线与平面平行的性质以及学生的空间想象能力和思维能力，创设判定定理成立的条件是解答本题的关键，属中档题．