Question

【题目】已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.

求实数的取值范围；

若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；

若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.

Answer 1

【答案】；4；12.

【解析】

由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；

由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；

设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，

整理得.所以，求得，设，则，

所以在上单调递增，最后求出实数的值.

由题意可知，，则，

即方程在区间上有实数解，解得；

因为，则，

①当，即时，恒成立，

所以在上单调递增，不符题意；

②当时，令，

解得：，

当时，，单调递增，

所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；

③当时，，

解得：，

且当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

若，则在上单调递减，所以，

若，则上单调递减，在上单调递增，

由题意可知，，即，

整理得，

因为存在，符合上式，所以，解得，

综上，的最大值为4；

设直线与曲线的切点为，

因为，所以切线斜率，

即切线方程

整理得：

由题意可知，，即，

即，解得

所以切线方程为，

设直线与曲线的切点为，

因为，所以切线斜率，即切线方程为，

整理得.

所以，消去，整理得，

且因为，解得，

设，则，

所以在上单调递增，

因为，所以，所以，即.