Question

已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．

Answer 1

(1)a≥(2) x＝1或x＝－(1＋2a) (3)4a＋5

(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x²－2x＋1≤2a(1－x)，
又因为－2≤x≤－1， ?
所以a≥ _max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，
所以a≥.(4分)
(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x²＋2ax＋1＝2|x＋a|，
所以(x＋a)²－2|x＋a|＋1－a²＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)
①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；
②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，
所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；
③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)
(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝
①若a≥－，则x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，
从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；(12分)
②若a＜－，则x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x²＋2ax＋1，
当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，
当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a²，
当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.(14分)
③若－≤a＜－，则x∈[2,4]时，
g(x)＝
当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；
当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.
因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，
所以g(x)最小值为4a＋5，
综上所述，
[g(x)]_min＝(16分)