Question

【题目】如图，在五面体中，底面为正方形， ，平面平面， .

(1)求证： ；

(2)若， ，求五面体的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：

（1）要证线线垂直，可先证线面垂直，已知有，因此只要再证，这可由面面垂直的性质定理得平面，从而得到结论；

（2）这个多面体可分拆为一个三棱锥和一个四棱锥，它们的高易作出，分别求出体积即可．

试题解析：

（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面CDEF，

平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD⊥CD，

所以AD⊥平面CDEF，又CF平面CDEF，

则AD⊥CF．

又因为AE⊥CF，AD∩AE＝A，

所以CF⊥平面AED，DE平面AED，

从而有CF⊥DE．

（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，

因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，

所以FM⊥平面ABCD．

因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，

所以FM＝CM＝1，

所以五面体的体积V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝．