【题目】已知抛物线:
的焦点,过点
作两条互相垂直的直线
,直线
交
于不同的两点
,直线
交
于不同的两点
,记直线
的斜率为
.
(1)求的取值范围;
(2)设线段的中点分别为点
,证明:直线
过定点
.
【答案】(1) {k|k<-2或0<k<} (2)见解析
【解析】试题分析:
(1)写出直线的方程
,与抛物线方程联立方程组,利用判别式求出
的一个范围,另外直线
的方程为
与抛物线方程联立同样又得出
的一个范围,两者求交集即得;
(2)设,利用韦达定理可得
即
点坐标,用
代替
可得
点坐标,计算出
,得证结论.
试题解析:
(1)由题设可知k≠0,所以直线m的方程为y=kx+2,与y2=4x联立,
整理得ky2-4y+8=0, ①
由Δ1=16-32k>0,解得k<.
直线n的方程为y=-x+2,与y2=4x联立,
整理得y2+4ky-8k=0,
由Δ2=16k2+32k>0,解得k>0或k<-2.
所以故k的取值范围为{k|k<-2或0<k<
}.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
由①得,y1+y2=,则y0=
,x0=
-
,则M(
-
,
).
同理可得N(2k2+2k,-2k).
直线MQ的斜率kMQ==
,
直线NQ的斜率kNQ==
=kMQ,
所以直线MN过定点Q(2,0).
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【题目】已知在平面直角坐标系中,圆的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,以
轴为非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的普通方程与极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为
,求圆
上的点到直线
的最大距离.
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【题目】为了解某城市居民的月平均用电量情况,随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量(单位:度),得到频率分布直方图(如图所示).数据的分组依次为、
、
、
、
、
、
.
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值;
(3)在月平均用电量为的四组用户中,采用分层抽样的方法抽取
户居民,则应从月用电量在
居民中抽取多少户?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】汽车是碳排放量比较大的交通工具,某地规定,从2017年开始,将对二氧化碳排放量超过130 g/km的轻型汽车进行惩罚性征税,检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | x | 100 | 160 |
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120 g/km.
(1)求表中x的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;
(2)从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过130 g/km的概率是多少?
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【题目】在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
、
的极坐标分别为
、
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)若直线和曲线
只有一个交点,求
的值.
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