Question

【题目】已知一个动点到点的距离比到直线的距离多1.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若过点的直线与曲线交于两点，且线段中点是点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由题意，转化为动点满足到点的距离比到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求解抛物线的方程；

（2）当直线斜率存在时，设，代入作差，即可求得直线斜率，进而利用正弦的点斜式方程，即可得到结论.

（1）∵动点满足到点的距离比到直线距离多1，

∴动点满足到点的距离比到直线的距离相等，

∴动点是以为焦点，为准线的抛物线，方程为

（2）当直线斜率不存在时，显然不为中点，

当直线斜率存在时，设为直线斜率，设，

，得，

∴

又是线段的中点，∴，∴

故直线的方程为，化为一般形式即：