Question

如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为等腰直角三角形，A(-2,0),C(a,0)(a＞0),设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M,N.

（1）若圆M与直线CD相切，求直线CD的方程.

（2）若直线AB截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程.

（3）是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线AB的距离为2?若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:(1)圆心M(-1,1),∴圆M方程为(x+1)²+(y-1)²=2,

直线CD方程为x+y-a=0.

∵⊙M与直线CD相切,∴圆心M到直线CD的距离d==,

化简得a=±2(舍去负值).∴直线CD的方程为x+y-2=0.

(2)直线AB方程为x-y+2=0,圆心N(,),

∴圆心N到直线AB距离为=.

∵直线AB截⊙N所得弦长为4,∴2²+()²=.∴a=±2(舍去负值).

∴⊙N的标准方程为(x-)²+(y-)²=6.

(3)存在.由(2)知,圆心N到直线AB距离为(定值),且AB⊥CD始终成立,

∴当且仅当圆N的半径=2,即a=4时,⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为2.

此时⊙N标准方程为(x-2)²+(y-2)²=8.