Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中有n个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据条件分别求出f（2），f（3），f（4），f（5）即可；
（2）根据条件找出f（n）与f（n+1）的关系，利用累加法即可求出f（n）的表达式．

解答：解：（1）由题意有f（1）=3，
f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，
f（4）=f（3）+3+3×6=48，
f（5）=f（4）+3+3×8=75．
（2）由题意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…
f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，
将上面（n-1）个式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×

(1+n-1)(n-1)

2

+3(n-1)=3n²-3
又f（1）=3，
所以f（n）=3n²．
故答案为：（1）12，27，48，75．
（2）f（n+1）-f（n）=6n+3，f（n）=3n²．

点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用累加法求出f（n）是解决本题的关键．