Question

已知a_n＝n×0.8ⁿ(n∈N^*)．
(1)判断数列{a_n}的单调性；
(2)是否存在最小正整数k，使得数列{a_n}中的任意一项均小于k？请说明理由．

Answer 1

（1）a₁，a₂，a₃，a₄单调递增，a₄＝a₅，而a₅，a₆，…单调递减（2）k＝2

(1)∵a_n＋1－a_n＝×0.8ⁿ(n∈N^*)，∴n＜4时，a_n＜a_n＋1；n＝4时，a₄＝a₅；
n＞时，a_n＞a_n＋1.
即a₁，a₂，a₃，a₄单调递增，a₄＝a₅，而a₅，a₆，…单调递减．
(2)由(1)知，数列{a_n}的第4项与第5项相等且最大，最大项是.
故存在最小的正整数k＝2，使得数列{a_n}中的任意一项均小于k.