Question

4．函数f（x）=|2x-x²|+lnx的单调增区间是（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]和（2，+∞）．

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，结合求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：当2x-x²≥0即0＜x≤2时：
f（x）=2x-x²+lnx，
则f′（x）=2-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+2x+1}{x}$，
令f′（x）≥0，解得：0＜x≤$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]递增；
当2x-x²＜0即x＞2时：
f（x）=x²-2x+lnx，
则f′（x）=2x-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$＞0，
∴f（x）在（2，+∞）递增；
故答案为：（0，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]和（2，+∞）．

点评 本题考察了求函数的单调性问题，考察分类讨论思想，考察导数的应用，是一道基础题．