Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2 ．

（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．

于是有P（0，0，2）， ，D（0，1，0）．

则有 ，又 ．

则异面直线PC与AD所成角θ满足 ，

所以异面直线PC与AD所成角的大小为

（2）解：设点Q（x，y，0），点P（0，0，2）、点D（0，1，0）、点A（0，0，0），

则 ， ，

则 ， ，

化简整理得到3y2﹣x2=4，

则曲线E是平面ABCD内的双曲线

（3）解：在如图所示的xOy的坐标系中，因为D（0，1）、 、 ，设G（x1，y1）．则有 ，故DC的方程为 ，

代入双曲线E：3y2﹣x2=4的方程可得，3y2﹣8（y﹣1）2=45y2﹣16y+12=0，其中 ．

因为直线DC与双曲线E交于点C，故 ．进而可得 ，即 ．

故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足 ， ．

又设Q（x，y）为双曲线CG上的动点， ．

所以，

因为 ，所以当 时， ；

当 时， ．

而要使圆B与AB、BC都有交点，则|BQ|≤2．

故满足题意的圆的半径取值范围是 ．

因为PA⊥DMN，所以P﹣DMN体积为 ．故问题可以转化为研究△BMN的面积．又因为∠MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形．

由前述，设 ，则|BM|=|BN|=r，

故其面积 ，所以 ．

于是， ．

（当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标 时，

即|BQ|长度最小时，体积取得最小值）．

【解析】（1）如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．（2）设点Q（x，y，0），点P（0，0，2）、点D（0，1，0）、点A（0，0，0），利用 ，化简整理即可得出．（3）设G（x1 ， y1）．则 ，把DC的方程为代入双曲线E：3y2﹣x2=4的方程可得，可得y1y2 ． 可得G．故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足 ， ，．又设Q（x，y）为双曲线CG上的动点，利用两点之间距离公式及其范围即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角和空间向量的数量积运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；等于的长度与在的方向上的投影的乘积．