Question

【题目】解答题
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：

①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，

此时，不等式的解集为．

②当0≤x＜ 时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜ ，

此时其解集为{x|0＜x＜ }．

③当x≥ 时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得 ≤x＜2，

又由x≥ ，此时其解集为{x| ≤x＜2}，

综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．

（2）证明：∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，

故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．

∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

【解析】（1）根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，②当0≤x＜ 时，③当x≥ 时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．（2）根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1，证得结果．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．