Question

椭圆E以抛物线C：y²=-4x的焦点为焦点，它们的交点的横坐标为-

2

3

，则椭圆的标准方程为（　　）

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1
• B．

  x2

  5

  +

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  24

  =1
• D．

  x2

  17

  +

  y2

  16

  =1

Answer 1

分析：依题意可求得y²=-4x的焦点坐标，也是椭圆E的左焦点F₁的坐标，进一步可求得其交点P的坐标，从而可求得|PF₁|与|PF₂|，利用椭圆的定义可求得椭圆的长轴长2a，从而可得离心率．

解答：解：∵设y²=-4x的焦点为F₁，则F₁（-1，0）也是椭圆E的左焦点，设椭圆E的右焦点为F₂，则F₂（1，0），
∴2c=|F₁F₂|=2，
∴c=1．
∵椭圆E与抛物线C：y²=-4x的交点P的横坐标为-

2

3

，设点P的纵坐标为y₀，
则 y02=-4×（-

2

3

）=

8

3

．
∴y₀=±

2 6

3

．
∴P（-

2

3

，±

2 6

3

）．
∴|PF₁|=

(1- 2 3 )2+ y02

=

1 9 + 24 9

=

5

3

，
同理可求|PF₂|=

7

3

，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
∴a=2，
∴b²=2²-1²=3，
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
故选A．

点评：本题考查椭圆的标准方程，求得其长轴长是关键，也是难点，考查分析与运算能力，属于中档题．