Question

(1)连结正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所得的一个几何体是几面体？画图表示该几何体；

(2)连结上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线，然后观察即可． 　　如图(1)，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心．由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱． 　　该多面体的图形如图(2)所示． 　　思路解析：连结相应点后，可以看到，由正方体的部分顶点可构成多种形状的简单几何体．如多面体ACB1D1便为四面体，即三棱锥，它是面数最少的空间几何体，而且该四面体也是正四面体；又如多面体A1ABD也是四面体，它是一个直角四面体，它也可看作是由正方体截下一个角所得的几何体，且截面是一个等边三角形．

提示：

(1)在画图时要分清“虚实”，否则会使图直观性不强，导致解题错误．“后面的”被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线． 　　(2)为了增强立体效果，正方体需画得“正”些，而八面体的放置应稍微“倾斜”些，这样，立体效果会更强． 　　(3)单独画一个正八面体，应注意到，八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形．