Question

已知函数f （x）=log₂x-3sin（2πx），则函数y=f （|x|）的零点个数为 ________．

Answer 1

30
分析：由于函数f （x）的定义域是（0，+∞），所研究的函数y=f （|x|）是一偶函数，其在（0，+∞）上的图象与函数f （x）的在（0，+∞）上的图象相同，故可以研究出函数f （x）=log₂x-3sin（2πx）的零点的个数，再依据偶函数的图象对称性即可求出函数y=f （|x|）的零点个数，又由于本题函数特殊，故常用图象法确定其零点个数．
解答：f （x）=log₂x-3sin（2πx）的零点即log₂x=3sin（2πx）的根，
故此方程的根的个数的问题可以转化为函数y=log₂x与y=3sin（2πx）图象交点个数的问题，
作出函数y=log₂x与y=3sin（2πx）图象，如图：
由图可以看出，两函数有15个交点，
故函数f （x）=log₂x-3sin（2πx）有15个零点
函数y=f （|x|）是一偶函数，其在（0，+∞）上的图象与函数f （x）的在（0，+∞）上的图象相同，
由上知函数y=f （|x|）的零点个数为为30个
故答案为30
点评：本题考点是函数零点的判定定理，考查用图象法确定函数零点个数的问题，本题中函数是一偶函数数，采取了只研究其在（0，+∞）上零点个数的技巧，通过局部零点个数求出整个实数集上零点个数．