Question

已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C的形状；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=-2时，过E（1，0）作两条互相垂直直线l₁、l₂，且分别与轨迹C交于A、B两点，探究直线AB是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．
（2）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+

y2

2

=1（x≠±1），由题意知，由题意知，l₁的斜率存在，设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-

1

k

（x-1），代入椭圆方程中整理得（x-1）[（k²+2）x-k²]=0，由此入手能够求出直线AB的方程，最后根据直线的方程得出它过定点．

解答：解：（1）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（2）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（7分）
（3）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+

y2

2

=1（x≠±1）
由题意知，l₁的斜率存在
设l₁的方程为y=k（x-1），设l₂的方程为y=-

1

k

（x-1），
将l₁的方程代入椭圆方程中整理得
（x-1）[（k²+2）x-k²]=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂的方程（*）的两个实根，
则x₁=

k2-2

k2+2

，∴y₁=

-4k

k2+2

，即A（

k2-2

k2+2

，

-4k

k2+2

），
同理，得B（

1-2k 2

2k2+1

，

4k

2k2+1

），
∴直线AB的斜率为k_AB=

4k 2k2+1 -( -4k k2+2 )

1-2k 2 2k2+1 - k2-2 k2+2

=

3k

1-k2

（k≠±1）
∴直线AB的方程为：y+

4k

k2+2

=

3k

1-k2

（x-

k2-2

k2+2

），
化简得：y=

3k

1-k2

（x+

1

3

），它恒过点（-

1

3

，0）
k=±1时，直线AB也过点（-

1

3

，0）．
∴直线AB过点（-

1

3

，0）．（13分）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值不等式的合理运用．