Question

已知直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有相异的三个交点，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用导数工具研究函数f（x）的单调性，可得函数f（x）的极大值为2，极小值为-2．由此可得若直线y=a与函数f（x）图象有相异的三个交点，则常数a应该大于函数f（x）的极小值且小于函数f（x）的极大值，即得a的取值范围．

解答：解：对函数f（x）=x³-3x求导数，得f'（x）=3x²-3
令f'（x）=0，得x=±1，
∵x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0；-1＜x＜1时，f'（x）＞0
∴函数f（x）的增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）；减区间为（-1，1）
由此可得函数f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2
∵直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有相异的三个交点，
∴常数a应该大于函数f（x）的极小值且小于函数f（x）的极大值，
即常数a取值范围是（-2，2）．

点评：本题给出直线y=a与三次多项式函数的图象有3个不同交点，求a的取值范围，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的零点与方程根的关系等知识，属于中档题．