Question

（1）求证：tan²x+

1

tan2x

=

2(3+cos4x)

1-cos4x

（2）若tan²α=2tan²β+1，求证：sin²β=2sin²α-1．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：推理和证明

分析：（1）将左边的“切”化“弦”，利用三角函数间的关系式、二倍角的余弦化简整理即可证得结论成立；
（2）将左边的“切”化“弦”后通分，等号两端各加“1”，利用三角函数间的关系式，即可证得等式成立．

解答： 证明：（1）左边=

sin2x

cos2x

+

cos2x

sin2x

=

(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x

sin2x•cos2x

=

1- 1 2 sin22x

1 4 sin22x

=

8-4sin22x

2sin22x

=

4+4cos22x

1-cos4x

=

4+2(1+cos4x)

1-cos4x

=

2(3+cos4x)

1-cos4x

=右边．
∴tan²x+

1

tan2x

=

2(3+cos4x)

1-cos4x

．
（2）证明：∵tan²α=2tan²β+1，∴

sin2α

cos2α

=

2sin2β

cos2β

+1，
∴1+

sin2α

cos2α

=

2sin2β

cos2β

+2，即

sin2α+cos2α

cos2α

=

2sin2β+2cos2β

cos2β

，即

1

cos2α

=

2

cos2β

，
∴2（1-sin²α）=1-sin²β，
∴sin²β=2sin²α-1．

点评：本题考查三角函数恒等式的证明，考查转化思想与综合运算、推理能力，属于中档题．