Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）（文科）已知k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立，求实数x的取值集合；
（3）（理科）设不等式f（x）≤2的解集为集合A，若存在x∈A，使得x²+（1-a）x=-9求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行化简可得f（x）=

2x-3 (x＞2) 1      (1≤x≤2) 3-2x   (x＜1)

，结合函数的性质可求函数的最小值
（2）由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立转化为f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2，解绝对值不等式可得x的取值集合
（3）由（1）可得A=[

1

2

，

5

2

]，由x²+（1-a）x=-9得1-a=-

x2+9

x

=-(x+

9

x

)
结合函数x+

9

x

在x∈[

1

2

，

5

2

]上单调性 及

61

10

≤x+

9

x

≤

37

2

  从而有-

37

2

≤1-a≤-

61

10

，解不等式可求a的取值范围，进而可求实数a的最小值

解答：解：（1）f（x）=

2x-3 (x＞2) 1      (1≤x≤2) 3-2x   (x＜1)

∴x＞2时，2x-3＞1；x＜1时，3-2x＞1；1≤x≤2时，f（x）=1
∴f（x）_min=1
（2）∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
问题转化为f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2
显然由

2x-3≤2 x＞2

 得2＜x≤

5

2

3-2x≤2 x＜1

 得

1

2

≤x＜1
∴实数x的取值集合为[

1

2

，

5

2

]
（3）A=[

1

2

，

5

2

]，由x²+（1-a）x=-9得1-a=-

x2+9

x

=-(x+

9

x

)
由函数x+

9

x

在x∈[

1

2

，

5

2

]上单调递减∴

61

10

≤x+

9

x

≤

37

2

 
∴-

37

2

≤1-a≤-

61

10

∴

71

10

≤a≤

39

2

 故实数的最小值为

71

10

点评：（1）利用绝对值的几何意义是解决本题的关键（2）不等式的恒成立往往转化为求解函数的最值问题，（3）单调性的应用是解决此类问题的重要方法