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(2013•哈尔滨一模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B
(1)求椭圆C的方程;
(2)设 P为椭圆上一点,且满足
OA
+
OB
=t
OP
(O 为坐标原点),当|AB|=
3
时,求实数t的值.
分析:(1)利用离心率求得a和c关系,进而利用椭圆方程中a,b和c的关系求得a和b的关系,最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b,则a可求,椭圆的方程可求.
(2)设出A、B、P的坐标和AB的直线方程,与椭圆的方程联立消去y,利用判别式大于0求得k的范围,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用
OA
+
OB
=t
OP
求得k和t的关系,把点P坐标代入椭圆的方程,利用|AB|=
3
求得k的值,进而利用k和t的关系求得t的值.
解答:解:(1)由已知e=
c
a
=
3
2
,所以
c2
a2
=
3
4

又c2=a2-b2
所以a2=4b2,c2=3b2,所以椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
2b2
a
=1

所以b=1.
所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)
设AB:y=k(x-3),与椭圆联立得
y=k(x-3)
x2
4
+y2=1

整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,
由△=242k4-16(9k2-1)(1+4k2)>0,得k2
1
5

x1+x2=
24k2
1+4k2
x1x2=
36k2-4
1+4k2

OA
+
OB
=t
OP
,得
OA
+
OB
=(x1+x2y1+y2)=t(x,y)

所以 x=
1
t
(x1+x2)=
24k2
t(1+4k2)

y=
1
t
(y1+y2)=
1
t
[k(x1+x2)-6k]=-
6k
t(1+4k2)

由点P在椭圆上得,
(24k2)2
t2(1+4k2)2
+
144k2
t2(1+4k2)2
=4
,整理得36k2=t2(1+4k2).
又由|AB|=
3

所以|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
3

所以(1+k2)(x1-x22=3,
(1+k2)[(x1+x22-4x1x2]=3,
(1+k2)[
242k4
(1+4k2)2
-
4(36k2-4)
1+4k2
]=3

整理得:(8k2-1)(16k2+13)=0.
所以8k2-1=0,k2=
1
8

由36k2=t2(1+4k2),得t2=
36k2
1+4k2
=9-
9
1+4k2

所以t2=9-
9
1+4×
1
8
=3

则t=±
3
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立,利用韦达定理和判别式来作为解题的关键.
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3
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