Question

已知各项均为正数的数列﹛a_n﹜，对于任意正整数n，点（a_n，s_n）在曲线y=

1

2

(x2+x)上
（1）求证：数列﹛a_n﹜是等差数列；
（2）若数列﹛b_n﹜满足b_n=

1

an•an+2

，求数列﹛b_n﹜的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，s_n）在曲线y=

1

2

(x2+x)上，知Sn=

1

2

(an2+an)，故S_n-1=

1

2

（an-12+an-1），n≥2，从而得an=Sn-Sn-1=

1

2

[（an2+an）-（an-12+an-1）]，所以a_n-a_n-1=1．由此能够证明数列﹛a_n﹜是等差数列．
（2））由Sn=

1

2

(an2+an)，解得a₁=1，由a_n-a_n-1=1．知a_n=1+（n-1）=n，故b_n=

1

an•an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能求出数列﹛b_n﹜的前n项和．

解答：解：（1）∵各项均为正数的数列﹛a_n﹜，对于任意正整数n，点（a_n，s_n）在曲线y=

1

2

(x2+x)上，
∴Sn=

1

2

(an2+an)，①
∴S_n-1=

1

2

（an-12+an-1），n≥2，②
①-②，得an=Sn-Sn-1=

1

2

[（an2+an）-（an-12+an-1）]
∴an-12+an-1=an2-an，
∴an2-an-12=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列﹛a_n﹜是等差数列．
（2）∵Sn=

1

2

(an2+an)，
∴a1=

1

2

(a12+a1)，解得a₁=1，a₁=0（舍），
∵a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=

1

an•an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列﹛b_n﹜的前n项和
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2n+2

-

1

2n+4

．

点评：本题考查数列的性质和应用，等差关系的确定，等比数列的前n项和等．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．