Question

（2012•南宁模拟）已知F，F'分别是椭圆C₁：17x²+16y²=17的上、下焦点，直线l₁过点F'且垂直于椭圆长轴，动直线l₂垂直l₁于点G，线段GF的垂直平分线交l₂于点H，点H的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l：x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C₂的两务切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆C₁：17x²+16y²=17，可得F，F'的坐标，从而可得动点H到定直线l₁：y=-

1

4

与定点F（0，

1

4

）的距离相等，由此可得轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得

FA

、

FB

、

FP

的坐标，利用向量的夹角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C₁：17x²+16y²=17，∴椭圆半焦距长为

1

4

∴F′（0，-

1

4

），F（0，

1

4

）
∵HG=HF，∴动点H到定直线l₁：y=-

1

4

与定点F（0，

1

4

）的距离相等
∴动点H的轨迹为以定直线l₁：y=-

1

4

为准线，定点F（0，

1

4

）为焦点的抛物线
∴轨迹C₂的方程为x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，证明如下：
由（Ⅰ）设A（x0，x02），B（x1，x12）（x₀≠x₁）
∴切线AP：2x0x-y-x02=0，切线BP：2x1x-y-x12=0
联立可得P的坐标xP=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁
∵

FA

=（x0，x02-

1

4

），

FB

=（x1，x12-

1

4

），

FP

=（

x0+x1

2

，x0x1-

1

4

）
由于P在抛物线外，则|

FP

|≠0
∴cos∠AFP=

FP • FA

| FP || FA |

=

x0x1+ 1 4

| FP |

同理可得cos∠BFP=

FP • FB

| FP || FB |

=

x0x1+ 1 4

| FP |

∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．