Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1,）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程.

（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线=1具有类似特性的性质并加以证明.

Answer 1

分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.

解:（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.

又点A（1，）在椭圆上，因此+=1,b²=3.

∴c²=a²-b²=1.

∴椭圆C的方程为+=1,焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）.

(2)设椭圆C上的动点为K(x₁,y₁)，线段F₁K的中点Q（x,y）满足x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.

∴+=1,即（x+）²+=1为所求的轨迹方程.

（3）类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（-m,-n），其中=1.

又设点P的坐标为（x,y），由k_PM=,

k_PN=,得k_PM·k_PN=·=.

将y²=x²-b²,n²=m²-b²,代入得k_PM·k_PN=.

绿色通道

    类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法.