Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，以F₁为圆心F₁F₂为半径的圆恰好经过点A且与直线l：x-y-3=0相切
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程；
（3）过右焦点F₂作斜率为K的直线与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得PM，PN以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为圆F₁经过点A且半径为2c，所以|AF₁|=|F₁F₂|，根据椭圆的几何性质|AF₁|=a，所以a=2c，所以（3分）
（2）因为以点F₁为圆心，以2c为半径的圆与直线相切，
所以，即15c²-6c-9=0，
因为c＞0，所以c=1，
又因为，所以a=2，所以b²=a²-c²=4-1=3
所以椭圆的方程为（7分）
（3）由（2）知F₂（1，0），所以设l：y=k（x-1）
由，可得 （3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）（9分）

由于菱形对角线垂直，则，而
所以（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
即k（y₂+y₁）+x₁+x₂-2m=0，所以k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0
所以，由已知条件可知k≠0且k∈R（11分）
所以，所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（13分）
分析：（1）根据圆F₁经过点A且半径为2c，可得|AF₁|=|F₁F₂|，由此可得a=2c，从而可求椭圆C的离心率；
（2）利用以点F₁为圆心，以2c为半径的圆与直线相切，求出c的值，结合（1）中离心率的值，即可确定椭圆的方程；
（3）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即，从可用k表示出m，由此即可确定m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．