练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•泰安二模）已知椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
         =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（x1，y1）是椭圆上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4，椭圆的离心率e=
    1
    2

    （I）求椭圆E的标准方程；
    （II）直线PF1交椭圆E于另一点Q（x1，y2），椭圆右顶点为A，若
    AP
    •
    AQ
    =3，求直线PF1的方程；
    （III）过点M（
    1
    4
    x1    ，0）作直线PF1的垂线，垂足为N，当x1变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）由椭圆定义得到2a=4，求得a=2，再由离心率求出c，结合b2=a2-c2求出b，则椭圆方程可求；
    （Ⅱ）经分析可知直线PF1的斜率存在切不等于0，设出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求出x1+x2，x1x2，代入
    AP
    •
    AQ
    =3整理求得k的值，则直线PF1的方程可求；
    （Ⅲ）分PF1的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求线段PN的长度，斜率存在时，用两点式求出PF1的斜率并写出直线方程，由点到直线的距离公式写出MN的长度，平方后转化为含x1的表达式，求出|PM|2由勾股定理得到|PN|2，则|PN|可求．
    解答：解：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，所以a=2，
    又e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，则c=1，所以b2=a2-c2=4-1=3．
    所以所求的椭圆E的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （Ⅱ）由椭圆方程知F1（-1，0），A（2，0）．
    当PF1与x轴垂直时，直线方程为x=-1，代入椭圆方程解得P(-1，
    3
    2
    )    ，Q(-1，-
    3
    2
    )    ．
    AP
    •
    AQ
    =(-3，
    3
    2
    )•(-3，-
    3
    2
    )=
    27
    4
    ≠3．
    所以直线PF1的斜率存在且不为0，设斜率为k，
    则直线PF1的方程为y=k（x+1）．
    由
    y=k(x+1)
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    ，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．
    x1+x2=
    -8k2
    3+4k2
    ，x1x2=
    4k2-12
    3+4k2
    ．
    由
    AP
    •
    AQ
    =（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=3，
    得x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)
    =(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4=3
    所以(k2+1)•
    4k2-12
    3+4k2
    +(k2-2)•
    -8k2
    3+4k2
    +k2+4
    =
    -4k4+8k2-12+4k4+19k2+12
    3+4k2
    =
    27k2
    3+4k2
    =3    ．
    即9k2=3+4k2，所以k=±
    		15
    15
    ．
    所以直线PF1的方程为y=±
    		15
    15
    (x+1)    ；
    （Ⅲ）PN的长度为定值
    3
    2
    ．
    当PF1的斜率不存在时，即x1=-1时，F1与N重合，此时|PN|=
    3
    2
    ．
    当PF1的斜率存在时，即x1≠-1时，斜率k=
    y1
    x1+1
    ．
    故直线PF1的方程为y=
    y1
    x1+1
    (x+1)    ，即y1x-（x1+1）y+y1=0．
    又M（
    1
    4
    x1，0    ），所以|MN|=
    |
    x1y1
    4
    +y1|
    		y12+(x1+1)2

    又
    x12
    4
    +
    y12
    3
    =1    ，所以y12=3-
    3
    4
    x12    ，
    从而|MN|2=
    (3-
    3
    4
    x12)(
    x1
    4
    +1)2
    3-
    3
    4
    x12+(x1+1)2
    =
    (3-
    3
    4
    x12)(
    x1
    4
    +1)2
    1
    4
    x12+2x1+4

    =
    (3-
    3
    4
    x12)(
    x1
    4
    +1)2
    4(
    x1
    4
    +1)2
    =
    3
    4
    -
    3
    16
    x12    ．
    又|PM|2=
    9
    16
    x12+y12    =
    9
    16
    x12+3-
    3
    4
    x12=3-
    3
    16
    x12    ，
    所以|PN|2=|PM|2-|MN|2=3-
    3
    4
    ，所以|PN|=
    3
    2
    ．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了学生的计算能力，是难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．
    （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）证明
    1
    3
    ≤
    1
    S1
    +
    1
    S2
    +…+
    1
    Sn
    ＜
    3
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，a2-b2=
    3
    2
    bc    ，则A=
    2
    3
    π
    2
    3
    π
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）下列选项中，说法正确的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•泰安二模）过点P（1，-2）的直线l将圆x2+y2-4x+6y-3=0截成两段弧，若其中劣弧的长度最短，那么直线l的方程为
    x-y-3=0
    x-y-3=0
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案